Mathematik? Das ist doch das mit den Formeln, die man auswendig lernen muss. Und die Formeln? Die versteht doch sowieso keiner und praktischen Nutzen bringen sie auch nicht. Mathematiker arbeiten doch nur theoretisch, das hat doch dann nichts mit der Realität zu tun.“
So oder so ähnlich lauten viele Vorurteile, die bezüglich der Mathematik noch fest in unseren Köpfen verankert sind. Ich möchte Ihnen heute zeigen, dass Formeln keineswegs nur theoretischen Wert haben. Besonders in der Optimierung sind sie unerlässlich – und im Grunde auch ganz einfach und anschaulich zu beschreiben (wenn man sich ein wenig auf die Schreibweise einlässt).

Eine Formel für alle Anwendungen?

Sicherlich werden viele von Ihnen stutzen, wenn ich behaupte, dass diese kurze Formel einem Großteil der mathematischen Optimierungsprobleme entspricht. Unabhängig vom fachlichen Einsatzgebiet. Dabei zeigt diese Formel tatsächlich ganz allgemein, wie lineare Optimierungsmodelle aussehen – und eine Vielzahl an Einsatzszenarien lassen sich eben durch lineare Modelle abbilden. Es lohnt sich daher, sich diese Formel einmal genauer anzusehen.

Was suchen wir?

Wir beginnen ganz links: „max“ gibt uns direkt das Ziel an, das wir erreichen wollen: Maximierung. Nehmen wir daher exemplarisch an, dass wir mit Hilfe der linearen Optimierung den Gewinn unseres Unternehmens maximieren wollen.
Wenn unser Unternehmen Fahrzeuge herstellt, suchen wir dazu die Anzahl der Fahrzeuge, die uns unter Berücksichtigung der gegebenen Ressourcen den größtmöglichen Gewinn bescheren. Die Anzahl aller einzelnen Fahrzeuge je Fahrzeugtyp fassen wir in einem sogenannten Vektor zusammen, der nichts anderes darstellt als eine Sammlung von zusammengehörenden Zahlen. Diese Sammlung nennen wir „x“. Was wir genau suchen und wie viele Lösungen wir benötigen, ist hinter dem Element-Symbol beschrieben: Das Zeichen, das wir ein großes „R“ aussieht, sagt uns, dass wir Zahlen suchen. Das „n“ wiederum steht als Variable dafür, wie viele Zahlen es sind.

Wie suchen wir?

Nun müssen wir unterscheiden zwischen dem, was wir suchen und dem, was wir erreichen wollen: Schließlich wollen wir nicht die Anzahl der Fahrzeuge maximieren, sondern den Gewinn. Wir definieren diesen ganz einfach als die Anzahl der (verkauften) Fahrzeuge multipliziert mit dem jeweiligen Gewinn für das betrachtete Fahrzeug. Nichts anderes besagt der Ausdruck c * x. Das c steht dabei für den Gewinn der einzelnen Fahrzeuge, also für den Verkaufspreis abzüglich der Produktionskosten.
Das „T“ der Formel können wir an dieser Stelle vernachlässigen. Es hat nur den Zweck, dass der Ausdruck mathematisch in der richtigen Schreibweise dargestellt wird und ist für den fachlichen Kontext irrelevant.

Was müssen wir noch beachten?

Bereits jetzt könnten wir eine Lösung finden, das Problem ist nur: Sie lautet „unendlich“. Denn wenn wir den Ausdruck so, wie ich ihn bisher erläutert habe, maximieren, bekommen wir als Ergebnis: Je mehr wir produzieren, desto höher ist der Gewinn, also stellen wir so viele Fahrzeuge wie möglich her. Doch da holt uns natürlich die Realität wieder ein: Die Produktionskapazität ist natürlich durch diverse Faktoren begrenzt, wie Arbeitszeit, Material, Maschinen, etc. Genau diese Aspekte sehen wir im letzten Teil dieser Formel.
In A sind sämtliche Produktionsfaktoren gesammelt, die es zu beachten gilt, beispielweise die Materialmenge pro Fahrzeug, die Arbeitszeit pro Fahrzeug etc. Mit A*x berechnen wir also die benötigten Ressourcen. Wie die Begrenzung jeder Ressource aussieht, wird im Vektor b zusammengefasst. Somit ergibt sich: Die Menge der benötigten Ressourcen darf b nicht überschreiten.
Die letzte Bedingung ist ebenso logisch: Die Anzahl jedes Fahrzeugtyps darf nicht kleiner als 0 sein. Klar, denn wir können schließlich keine negative Anzahl an Fahrzeugen produzieren.

Fazit

Wie Sie sehen, ist die Formel gar nicht so kompliziert, wie sie auf den ersten Blick erscheint. Sie lässt sich analog zur Fahrzeugproduktion auf viele weitere Bereiche übertragen. Wie jetzt die Variablen x, c, A und b gewählt werden, muss dabei stets gut durchdacht sein und ist von Fall zu Fall verschieden. Gerade die Variablen A und b erfordern eine saubere Modellierung, damit das Problem ist möglichst kurzer Zeit lösbar bleibt. Genau dabei und selbstverständlich auch bei der Umsetzung helfen wir Ihnen gerne, sprechen Sie uns einfach an!