Fortschreitende Technologien ermöglichen uns, immer genauere Berechnungen durchzuführen. Wir sind heute in der Lage, in kürzerer Zeit mit höheren Datenmengen umzugehen als jemals zuvor. Gerade in der Mathematik hat das aber nicht nur Vorteile: Wir neigen gerne dazu, uns eine Detailtiefe einzureden, die es so in der Praxis nicht gibt bzw. die überhaupt nicht mehr sinnvoll ist.

Ein Zahlenbeispiel

Denken wir uns dazu einmal einige Jahre zurück: Wenn wir ohne Taschenrechner den Umfang eines Kreises berechnen wollten, der einen Radius von 5 cm hatte, erinnerten wir uns, dass die Kreiszahl Pi in etwa 3,14 beträgt, und nannten 31,4 cm als Ergebnis der Rechnung. Damit waren wir zufrieden. Dann kam die Technologie in Form des Taschenrechners ins Spiel: Wir freuten uns darüber, dass Pi fest im Rechner einprogrammiert war, und unser Ergebnis lautete plötzlich 31,41592654 (wenn unser Taschenrechner über zehn Stellen verfügte; andernfalls wurde natürlich noch mehr notiert). Doch half uns dieses Ergebnis weiter?
Nein, im Gegenteil, es täuscht uns eine Genauigkeit vor, die in dieser Tiefe überhaupt nicht vorliegt. Den Radius des Kreises konnten wir mit Hilfe eines Lineals auf einen Millimeter genau ausmessen. Wir wissen also: Der Radius wird irgendwo zwischen 4,95 und 5,05 cm liegen, was einer Spannweite von 0,1 cm, also etwa 2%, entspricht.
Schauen wir uns nun das Ergebnis an: Wir haben es auf die achte Nachkommastelle genau notiert, der Taschenrechner hat das Ergebnis natürlich gerundet. Die Spannweite dieses Ergebnis-Intervalls beträgt somit 0,00000001: Eine vorgetäuschte Genauigkeit von etwa 300 Millionstel Prozent!

Fazit und Ausblick

Rechnen wir denn nun mit Hilfe eines Taschenrechners genauer? Die Antwort ist eindeutig: Nein! Im Idealfall bleibt die Genauigkeit innerhalb einer Rechnung erhalten, in der Regel nimmt sie allerdings sogar ab. Zunehmen kann sie nicht. Das Ergebnis von 31,4 cm, also mit einer Spannweite von 0,1 cm und somit ca. 0,3% liegt damit schon deutlich näher an der Realität; idealerweise hätten wir auch damals sogar schon „etwa 31 cm“ als Ergebnis nennen müssen.
Sie Fragen sich jetzt sicherlich, was mathematische Grundsatzdiskussionen mit meiner täglichen Arbeit zu tun haben? Diese „Genauigkeitsregeln“ spielen natürlich nicht nur in der theoretischen Mathematik, sondern auch in Optimierungsthemen eine wichtige Rolle. Wie Sie dieses Wissen nutzen, um bessere Optimierungsmodelle zu entwickeln, lesen Sie im zweiten Teil dieser Blog-Reihe.